{
  "id": "math-derivative-formulas",
  "name": "Zbiór Danych Wzorów na Pochodne i Reguł Różniczkowania",
  "category": "math",
  "source": null,
  "updated": "2025-12-28",
  "columns": [
    {
      "key": "category",
      "label": "Category (EN)",
      "type": "string"
    },
    {
      "key": "function",
      "label": "Function f(x)",
      "type": "string"
    },
    {
      "key": "derivative",
      "label": "Derivative f'(x)",
      "type": "string"
    },
    {
      "key": "condition",
      "label": "Condition",
      "type": "string"
    },
    {
      "key": "notes",
      "label": "Notes (EN)",
      "type": "string"
    }
  ],
  "rows": [
    {
      "category": "Reguły Podstawowe",
      "function": "c (constant)",
      "derivative": "0",
      "condition": "-",
      "notes": "Reguła stałej"
    },
    {
      "category": "Reguły Podstawowe",
      "function": "x",
      "derivative": "1",
      "condition": "-",
      "notes": "Funkcja tożsamościowa"
    },
    {
      "category": "Reguły Podstawowe",
      "function": "c·f(x)",
      "derivative": "c·f'(x)",
      "condition": "c is constant",
      "notes": "Reguła stałej krotności"
    },
    {
      "category": "Reguły Podstawowe",
      "function": "f(x) + g(x)",
      "derivative": "f'(x) + g'(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Reguła sumy"
    },
    {
      "category": "Reguły Podstawowe",
      "function": "f(x) - g(x)",
      "derivative": "f'(x) - g'(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Reguła różnicy"
    },
    {
      "category": "Reguły Podstawowe",
      "function": "f(x)·g(x)",
      "derivative": "f'(x)g(x) + f(x)g'(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Reguła iloczynu"
    },
    {
      "category": "Reguły Podstawowe",
      "function": "f(x)/g(x)",
      "derivative": "[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]²",
      "condition": "g(x) ≠ 0",
      "notes": "Reguła ilorazu"
    },
    {
      "category": "Reguły Podstawowe",
      "function": "f(g(x))",
      "derivative": "f'(g(x))·g'(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Reguła łańcuchowa"
    },
    {
      "category": "Potęga",
      "function": "x^n",
      "derivative": "n·x^(n-1)",
      "condition": "-",
      "notes": "Reguła potęgowa"
    },
    {
      "category": "Potęga",
      "function": "1/x",
      "derivative": "-1/x²",
      "condition": "x ≠ 0",
      "notes": "Tak samo jak x^(-1)"
    },
    {
      "category": "Potęga",
      "function": "1/x^n",
      "derivative": "-n/x^(n+1)",
      "condition": "x ≠ 0",
      "notes": "Potęga ujemna"
    },
    {
      "category": "Potęga",
      "function": "√x",
      "derivative": "1/(2√x)",
      "condition": "x > 0",
      "notes": "Pierwiastek kwadratowy"
    },
    {
      "category": "Potęga",
      "function": "∜x (x^(1/n))",
      "derivative": "1/(n·x^((n-1)/n))",
      "condition": "x > 0",
      "notes": "Pierwiastek n-tego stopnia"
    },
    {
      "category": "Potęga",
      "function": "x^x",
      "derivative": "x^x(ln(x) + 1)",
      "condition": "x > 0",
      "notes": "Różniczkowanie logarytmiczne"
    },
    {
      "category": "Wykładnicza",
      "function": "e^x",
      "derivative": "e^x",
      "condition": "-",
      "notes": "Funkcja wykładnicza naturalna"
    },
    {
      "category": "Wykładnicza",
      "function": "a^x",
      "derivative": "a^x·ln(a)",
      "condition": "a > 0, a ≠ 1",
      "notes": "Funkcja wykładnicza ogólna"
    },
    {
      "category": "Wykładnicza",
      "function": "e^(f(x))",
      "derivative": "e^(f(x))·f'(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Zastosowanie reguły łańcuchowej"
    },
    {
      "category": "Wykładnicza",
      "function": "a^(f(x))",
      "derivative": "a^(f(x))·ln(a)·f'(x)",
      "condition": "a > 0",
      "notes": "Ogólna postać z regułą łańcuchową"
    },
    {
      "category": "Logarytmiczna",
      "function": "ln(x)",
      "derivative": "1/x",
      "condition": "x > 0",
      "notes": "Logarytm naturalny"
    },
    {
      "category": "Logarytmiczna",
      "function": "log_a(x)",
      "derivative": "1/(x·ln(a))",
      "condition": "x > 0, a > 0",
      "notes": "Logarytm ogólny"
    },
    {
      "category": "Logarytmiczne",
      "function": "ln(f(x))",
      "derivative": "f'(x)/f(x)",
      "condition": "f(x) > 0",
      "notes": "Zastosowana reguła łańcuchowa"
    },
    {
      "category": "Logarytmiczne",
      "function": "log_a(f(x))",
      "derivative": "f'(x)/(f(x)·ln(a))",
      "condition": "f(x) > 0",
      "notes": "Forma ogólna z regułą łańcuchową"
    },
    {
      "category": "Logarytmiczne",
      "function": "ln|x|",
      "derivative": "1/x",
      "condition": "x ≠ 0",
      "notes": "Logarytm wartości bezwzględnej"
    },
    {
      "category": "Trygonometryczne",
      "function": "sin(x)",
      "derivative": "cos(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Funkcja sinus"
    },
    {
      "category": "Trygonometryczne",
      "function": "cos(x)",
      "derivative": "-sin(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Funkcja cosinus"
    },
    {
      "category": "Trygonometryczne",
      "function": "tan(x)",
      "derivative": "sec²(x)",
      "condition": "x ≠ π/2 + nπ",
      "notes": "Funkcja tangens"
    },
    {
      "category": "Trygonometryczne",
      "function": "cot(x)",
      "derivative": "-csc²(x)",
      "condition": "x ≠ nπ",
      "notes": "Funkcja cotangens"
    },
    {
      "category": "Trygonometryczne",
      "function": "sec(x)",
      "derivative": "sec(x)tan(x)",
      "condition": "x ≠ π/2 + nπ",
      "notes": "Funkcja secans"
    },
    {
      "category": "Trygonometryczne",
      "function": "csc(x)",
      "derivative": "-csc(x)cot(x)",
      "condition": "x ≠ nπ",
      "notes": "Funkcja cosecans"
    },
    {
      "category": "Trygonometryczne",
      "function": "sin(f(x))",
      "derivative": "cos(f(x))·f'(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Zastosowana reguła łańcuchowa"
    },
    {
      "category": "Trygonometryczne",
      "function": "cos(f(x))",
      "derivative": "-sin(f(x))·f'(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Zastosowana reguła łańcuchowa"
    },
    {
      "category": "Trygonometryczne",
      "function": "tan(f(x))",
      "derivative": "sec²(f(x))·f'(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Zastosowana reguła łańcuchowa"
    },
    {
      "category": "Odwrotne trygonometryczne",
      "function": "arcsin(x)",
      "derivative": "1/√(1-x²)",
      "condition": "|x| < 1",
      "notes": "Funkcja arcsinus"
    },
    {
      "category": "Odwrotne trygonometryczne",
      "function": "arccos(x)",
      "derivative": "-1/√(1-x²)",
      "condition": "|x| < 1",
      "notes": "Funkcja arccosinus"
    },
    {
      "category": "Odwrotne trygonometryczne",
      "function": "arctan(x)",
      "derivative": "1/(1+x²)",
      "condition": "-",
      "notes": "Funkcja arctangens"
    },
    {
      "category": "Odwrotne trygonometryczne",
      "function": "arccot(x)",
      "derivative": "-1/(1+x²)",
      "condition": "-",
      "notes": "Funkcja arccotangens"
    },
    {
      "category": "Odwrotne trygonometryczne",
      "function": "arcsec(x)",
      "derivative": "1/(|x|√(x²-1))",
      "condition": "|x| > 1",
      "notes": "Funkcja arcsecans"
    },
    {
      "category": "Odwrotne trygonometryczne",
      "function": "arccsc(x)",
      "derivative": "-1/(|x|√(x²-1))",
      "condition": "|x| > 1",
      "notes": "Funkcja arccosecans"
    },
    {
      "category": "Odwrotne trygonometryczne",
      "function": "arcsin(f(x))",
      "derivative": "f'(x)/√(1-[f(x)]²)",
      "condition": "|f(x)| < 1",
      "notes": "Zastosowana reguła łańcuchowa"
    },
    {
      "category": "Odwrotne trygonometryczne",
      "function": "arctan(f(x))",
      "derivative": "f'(x)/(1+[f(x)]²)",
      "condition": "-",
      "notes": "Zastosowana reguła łańcuchowa"
    },
    {
      "category": "Hiperboliczne",
      "function": "sinh(x)",
      "derivative": "cosh(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Sinus hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Hiperboliczne",
      "function": "cosh(x)",
      "derivative": "sinh(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Kosinus hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Hiperboliczne",
      "function": "tanh(x)",
      "derivative": "sech²(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Tangens hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Hiperboliczne",
      "function": "coth(x)",
      "derivative": "-csch²(x)",
      "condition": "x ≠ 0",
      "notes": "Kotangens hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Hiperboliczne",
      "function": "sech(x)",
      "derivative": "-sech(x)tanh(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Sekans hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Hiperboliczne",
      "function": "csch(x)",
      "derivative": "-csch(x)coth(x)",
      "condition": "x ≠ 0",
      "notes": "Kosekans hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Odwrotne hiperboliczne",
      "function": "arcsinh(x)",
      "derivative": "1/√(x²+1)",
      "condition": "-",
      "notes": "Odwrotny sinus hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Odwrotne hiperboliczne",
      "function": "arccosh(x)",
      "derivative": "1/√(x²-1)",
      "condition": "x > 1",
      "notes": "Odwrotny kosinus hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Odwrotne hiperboliczne",
      "function": "arctanh(x)",
      "derivative": "1/(1-x²)",
      "condition": "|x| < 1",
      "notes": "Odwrotny tangens hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Odwrotne hiperboliczne",
      "function": "arccoth(x)",
      "derivative": "1/(1-x²)",
      "condition": "|x| > 1",
      "notes": "Odwrotny kotangens hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Odwrotne hiperboliczne",
      "function": "arcsech(x)",
      "derivative": "-1/(x√(1-x²))",
      "condition": "0 < x < 1",
      "notes": "Odwrotny sekans hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Odwrotne hiperboliczne",
      "function": "arccsch(x)",
      "derivative": "-1/(|x|√(1+x²))",
      "condition": "x ≠ 0",
      "notes": "Odwrotny kosekans hiperboliczny"
    },
    {
      "category": "Specjalne",
      "function": "|x|",
      "derivative": "x/|x| = sgn(x)",
      "condition": "x ≠ 0",
      "notes": "Wartość bezwzględna"
    },
    {
      "category": "Specjalne",
      "function": "[f(x)]^n",
      "derivative": "n[f(x)]^(n-1)·f'(x)",
      "condition": "-",
      "notes": "Uogólniona reguła potęgowa"
    },
    {
      "category": "Specjalne",
      "function": "[f(x)]^g(x)",
      "derivative": "[f(x)]^g(x)·[g'(x)ln(f(x)) + g(x)f'(x)/f(x)]",
      "condition": "f(x) > 0",
      "notes": "Różniczkowanie logarytmiczne"
    },
    {
      "category": "Specjalne",
      "function": "e^(x²)",
      "derivative": "2x·e^(x²)",
      "condition": "-",
      "notes": "Forma Gaussa"
    },
    {
      "category": "Specjalne",
      "function": "ln(ln(x))",
      "derivative": "1/(x·ln(x))",
      "condition": "x > 1",
      "notes": "Zagnieżdżony logarytm"
    }
  ],
  "meta": {
    "seo_title": "Wzory Pochodnych - Pobierz za Darmo (Excel/CSV/PDF)",
    "seo_description": "Pobierz za darmo 57 powszechnych wzorów pochodnych i reguł różniczkowania dla rachunku. Dostępne w formatach Excel, CSV, PDF dla studentów i profesjonalistów.",
    "title": "Zbiór Danych Wzorów na Pochodne i Reguł Różniczkowania",
    "description": "Ten zbiór danych zawiera kompleksową kolekcję 57 powszechnych wzorów na pochodne i reguł różniczkowania, w tym zasady podstawowe, potęgowe, funkcje trygonometryczne i inne. Każdy wpis zawiera funkcję, jej pochodną, warunki i uwagi.",
    "key_takeaways": [
      "Uzyskaj dostęp do 57 niezbędnych wzorów na pochodne i reguł różniczkowania.",
      "Eksploruj koncepcje rachunku różniczkowego z skategoryzowanymi funkcjami i ich pochodnymi.",
      "Pobierz gotowe dane do nauki akademickiej lub profesjonalnego zastosowania.",
      "Wykorzystaj szczegółowe warunki i uwagi dla każdej reguły różniczkowania."
    ],
    "keywords": [
      "wzory pochodnych excel",
      "reguły różniczkowania csv",
      "wzory rachunek różniczkowy pdf",
      "matematyka pochodne",
      "tabela pochodnych",
      "pobierz dane rachunek różniczkowy"
    ],
    "use_cases": [
      "Zaimportuj plik **CSV** do swoich skryptów Pythona lub bazy danych SQL, aby zbudować niestandardowe aplikacje do nauki rachunku lub narzędzia do nauki.",
      "Użyj pliku **Excel** do filtrowania wzorów według kategorii, analizowania warunków lub łatwego tworzenia przewodników do nauki.",
      "Wydrukuj wersję **PDF** do szybkiego odniesienia offline podczas egzaminów, wykładów lub sesji nauki osobistej.",
      "Odwołaj się do tego zbioru danych, aby szybko zweryfikować pochodne dla złożonych funkcji w obliczeniach inżynieryjnych, fizycznych lub związanych z nauką o danych."
    ]
  },
  "record_count": 57,
  "title": "Zbiór Danych Wzorów na Pochodne i Reguł Różniczkowania"
}